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第一章 计算极限的方法1

一 基本概念与主要结果1

1.1 极限的定义1

1.2 极限存在的命题3

1.3 极限存在的两个准则3

1.4 极限的运算性质4

1.5 极限的保号性质4

1.6 无穷小量和无穷大量4

1.7 洛必达（L Hospital）法则7

1.8 泰勒公式8

1.9 常用公式12

二 题型精析13

2.1 未定式极限的计算13

2.2 1∞型极限计算22

2.3 利用泰勒公式求极限25

2.4 无穷小量阶的比较29

2.5 极限计算中的逆问题32

2.6 部分和型数列的极限35

2.7 用准则法求极限36

3.1 填空题40

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）40

3.2 选择题43

3.3 计算与证明题47

四 习题精选57

第二章 连续性、可微性和微分法63

1 连续函数63

一 基本概念与主要结果63

1.1 基本概念63

1.2 连续函数的基本类型64

1.3 连续函数的基本性质64

1.4 几点说明65

二 题型精析66

2.1 填空题66

2.2 选择题66

2.3 计算与证明题67

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）70

3.1 填空题70

3.2 选择题71

3.3 计算与证明题72

四 习题精选73

一 基本概念与主要结果75

1.1 基本概念75

2 导数与高阶导数75

1.2 主要结果76

二 题型精析77

2.1 填空题77

2.2 选择题80

2.3 计算与证明题81

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）85

3.1 填空题85

3.2 选择题87

3.3 计算与证明题91

四 习题精选95

3 导数与微分的计算98

一 基本概念与主要结果98

1.1 基本初等函数的导数公式和微分公式98

1.2 导数的四则运算法则98

1.3 复合函数、隐函数、反函数的微分法99

1.4 由参数方程确定的函数的求导公式99

1.5 一阶微分形式不变性99

1.6 乘积函数高阶导数的微分法莱布尼兹（Leibniz公式）99

1.7 由变限积分确定的函数的求导公式100

1.8 几点说明100

2.1 填空题101

二 题型精析101

2.2 选择题104

2.3 计算与证明题105

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）106

3.1 填空题106

3.2 选择题107

3.3 计算与证明题109

四 习题精选112

一 基本概念与主要结果114

1.1 基本概念114

第三章 中值定理和泰勒公式114

1.2 主要结果115

1.3 几点说明116

二 题型精析117

2.1 填空题117

2.2 计算与证明题119

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）126

3.1 填空题126

3.2 计算与证明题128

四 习题精选137

1.1 主要结果140

一 基本概念与主要结果140

第四章 一元微分学的应用140

1 极值与最值问题140

1.2 几点说明141

二 题型精析142

2.1 填空题142

2.2 计算与证明题142

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）149

3.1 填空题149

3.2 选择题150

3.3 计算与证明题153

四 习题精选159

2 微分法在几何方面的应用161

一 基本概念与主要结果161

1.1 曲线的凹凸、拐点及其判别161

1.2 曲率、曲率圆与曲率半径162

1.3 绘制函数图形的方法163

1.4 几点说明163

二 题型精析164

2.1 填空题164

2.2 选择题165

2.3 计算与证明题166

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）170

3.1 填空题170

3.2 选择题172

3.3 计算与证明题174

四 习题精选180

3 不等式181

一 基本概念与主要结果181

二 题型精析181

3.1 中值定理与不等式184

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）184

3.2 单调性与不等式185

3.3 最值与不等式188

3.4 其它189

四 习题精选191

4 方程的根和函数的零点192

一 基本概念与主要结果192

二 题型精析192

2.1 选择题192

2.2 计算与证明题193

3.1 选择题195

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）195

3.2 计算与证明题197

四 习题精选202

第五章 一元函数积分204

1 不定积分的计算204

一 基本概念与主要结果204

1.1 基本概念204

1.2 主要结果205

1.3 几点说明211

二 题型精析213

2.1 填空题213

2.2 计算与证明题213

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）220

3.1 填空题220

3.2 选择题221

3.3 计算与证明题222

四 习题精选227

1.1 基本概念228

1.2 主要结果228

2 定积分的计算及其应用228

一 基本概念与主要结果228

1.3 几点说明232

二 题型精析233

2.1 填空题233

2.2 计算与证明题234

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）242

3.1 填空题242

3.2 选择题244

3.3 计算与证明题247

四 习题精选260

1.1 无穷限的广义积分262

3 广义积分262

一 基本概念与主要结果262

1.2 无穷积分敛散性的判别264

1.3 无界函数的广义积分265

1.4 无界函数积分的敛散性判别267

1.5 几点说明268

二 题型精析269

2.1 填空题269

2.2 计算与证明题271

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）273

3.1 填空题273

3.2 计算与证明题274

四 习题精选277

第六章 向量代数与空间解析几何278

一 基本概念与主要结果278

1.1 空间直角坐标278

1.2 向量278

1.3 向量的运算279

1.4 向量运算的法则280

1.5 空间中的平面280

1.7 点、平面、直线之间的关系281

1.6 空间中的平面281

1.8 常用曲面及其方程283

二 题型精析286

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）290

3.1 填空题290

3.2 选择题292

3.3 计算与证明题295

四 习题精选297

一 基本概念与主要结果298

1.1 基本概念298

1 极限、连续、偏导数与全微分298

第七章 多元微分学及其应用298

1.2 主要结果302

1.3 几点说明305

二 题型精析306

2.1 填空题306

2.2 选择题307

2.3 计算与证明题310

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）318

3.1 填空题318

3.2 选择题320

3.3 计算与证明题321

四 习题精选325

2 多元函数的普通极值和条件极值327

一 基本概念与主要结果327

1.1 基本概念327

1.2 主要结果327

二 题型精析328

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）335

四 习题精选339

3 多元微分学在几何上的应用340

一 基本概念与主要结果340

2.2 计算与证明题342

二 题型精析342

2.1 填空题342

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）344

3.1 填空题344

3.2 选择题344

3.3 计算与证明题345

四 习题精选346

一 基本概念与主要结果347

1.1 基本概念347

1 二重积分347

第八章 多元函数积分学347

1.2 主要结果349

1.3 几点说明350

二 题型精析352

2.1 填空题352

2.2 选择题353

2.3 计算与证明题354

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）358

3.1 填空题358

3.2 选择题359

3.3 计算与证明题360

四 习题精选361

一 基本概念与主要结果362

1.1 基本概念362

2 三重积分362

1.2 主要结果364

二 题型精析366

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）370

四 习题精选372

一 基本概念与主要结果374

1.1 基本概念374

3 曲线积分374

1.2 主要结果376

1.3 几点说明378

二 题型精析379

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）382

3.1 填空题382

3.3 计算与证明题383

四 习题精选385

4 曲面积分386

一 基本概念与主要结果386

1.1 基本概念386

1.2 主要结果388

1.3 几点说明389

二 题型精析390

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）394

四 习题精选399

第九章 场论初步400

一 基本概念与主要结果400

1.1 基本概念400

1.2 主要结果402

1.3 几点说明403

2.1 填空题406

二 题型精析406

2.2 选择题408

2.3 计算与证明题408

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）413

3.1 填空题413

3.2 选择题415

3.3 计算与证明题415

四 习题精选425

1.1 基本概念427

一 基本概念与主要结果427

1 数值级数427

第十章 级数427

1.2 主要结果428

1.3 几点说明430

二 题型精析431

2.1 填空题431

2.2 选择题432

2.3 计算与证明题433

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）438

3.1 填空题438

3.2 计算与证明题442

四 习题精选446

2 幂级数448

一 基本概念与主要结果448

1.1 基本概念448

1.2 主要结果449

1.3 几点说明451

二 题型精析452

2.1 填空题452

2.2 计算与证明题453

3.1 填空题455

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）455

3.2 选择题456

3.3 计算与证明题456

四 习题精选462

3 傅里叶级数463

一 基本概念与主要结果463

1.1 基本概念463

1.2 主要结果464

1.3 几点说明467

二 题型精析467

3.1 填空题469

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）469

3.2 选择题470

3.3 计算与证明题472

四 习题精选474

第十一章 常微分方程475

1 一阶微分方程和可降价的高阶微分方程475

一 基本概念与主要结果475

1.1 基本概念475

1.2 主要结果476

二 题型精析479

3.1 填空题483

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）483

3.3 计算与证明题485

3.2 选择题485

四 习题精选502

2 二阶线方程503

一 基本概念与主要结果503

1.1 微分方程（1.2）的通解503

1.2 求非齐（次）方程（1.1）的特解的待定系数法504

1.4 几点说明505

二 题型精析505

1.3 方程（1.1）的通解505

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）509

四 习题精选517

3 积分型方程518

一 基本概念与主要结果518

二 题型精析518

三 研究生入学试题选解（1987～2000年）519

四 习题精选520

习题解答与提示521

附录 2000年全国硕士研究生入学考试数学考试大纲说明569

参考书目578